DERET TELESKOPIK

Deret Teleskopik secara sederhana bisa di katakan sebagai deret yg suku-sukuny saling menghilangkan atau saling mengeliminasi. Ada jg yg menyebutny dengan sebutan Deret Berjatuhan..
Kenapa namany jd Teleskopik?? katany seh deretny menyerupai bentuk teleskop, gede di bagian atas, trus semakin kebawah semakin mengecil..
Kayaknya klo bicara Teori takut yg baca jd ngantuk. ^_^
Kita bahas ja contoh2 soalny.
1. Tentukan nilai 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1) = ...

bagaimana cara menjawabny ya?? Klo yg udah tahu seh langsung ja jawabanny jd n/(n+1), cmn yg jadi masalah, darimana jawaban itu di peroleh??
Tentuny kita tidak mau tahu jawaban, tapi tidak tahu bagaimana cara dapetin jawabanny. ^_^
Ide menjawabny sederhana aja, kita mulai "PECAH" dulu rumusan Un ny..1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)  "silahkan buktikan kesamaan ini sebagai latihan"
dengan menggunakan kesamaan ini, kita bisa merubah semua suku pada soal menjadi:
1/2 = 1/1 - 1/2 = 1 - 1/2
1/6 = 1/2 - 1/3
1/12 = 1/3 - 1/4
1/20 = 1/4 - 1-5
1/30 = 1/5 - 1/6
.
.
.
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
Sehingga:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1)
 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1-5 + 1/5 - 1/6 +...+   1/n - 1/(n+1)
= 1 + [- 1/2 + 1/2]+[ - 1/3 + 1/3] +[- 1/4 + 1/4] +[- 1-5 + 1/5]+[ - 1/6+1/6] + ...+ [ - 1/n+ 1/n] - 1/(n+1)
nah perhatikan suku2 dalam tanda [...], semuany saling menghilangkan khan?? ato stiap dalam tanda [..] hasilny jd 0.
akibatny:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n(n+1)= 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)
Gampang khan.. ^__^

Kita coba soal lain:
2. Tentukan nilai dari 1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24 + ...  =  ??

di soal ini, rumusan Un tidak dikasih lihat..
(mang jarang di kasih lihat. hehehe.. justru tugas kita buat nyari rumusan dr Un, dan itu bakal jd kunci pemecahan soal)
1/3 = 1/(1x3)
1/8 = 1/(2x4)
1/15 = 1/(3x5)
dst

dr sini bisa kita simpulkan bahwa Un=1/[n(n+2)]
kita coba pecah rumusan Un
1/n - 1/(n+2) = 2/[n(n+2)] ---> jika kedua ruas dibagi dengan 2, akan di dapat:
(1/2)[1/n - 1/(n+2)]= 1/[n(n+2)]

Un = 1/[n(n+2)]  = (1/2)[1/n - 1/(n+2)]
sehingga:
1/3 = 1/(1x3) = (1/2)[1/1 - 1/3] = (1/2)[1 - 1/3]
1/8 = 1/(2x4)= (1/2)[1/2 - 1/4]
1/15 = 1/(3x5)=(1/2)[1/3 - 1/5]
1/24 = 1/(4x6) = (1/2)[1/4 - 1/6]
dst

perhatikan suku yg tandany positif, dan tandany negatif!
maka:

1/3 + 1/8 + 1/15 +  ... = (1/2)[(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - (1/3 + 1/4 + 1/5 + ...)]

1/3 + 1/8 + 1/15 +  ... = (1/2)(1 + 1/2)
 1/3 + 1/8 + 1/15 + ...  = (1/2)(3/2) = 3/4 selesai.. ^__^

BUAT LATIHAN SILAHKAN COBA SOAL KIRIMAN DARI MAS HENDRI SPEED KEMAREN.
 SOAL INI LUMAYAN MEMBUAT ANGGOTA SOULMATE PADA BINGUNG..
Soalny:
1/(3^2 + 1) + 1/(4^2 + 2) + 1/(5^2 + 3) + 1/(6^2 + 4) + ... = ???
Clue: Un= 1/[(n+2)^2 + n]

link